清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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解的误差限
本模块以图形的方式演示线性方程组
说明了解的相对变化界限，其中矩阵的条件数
定义为
对于矩阵A的扰动也可得到类似的误差界，但在本演示程序中我们只考虑右端向量b的扰动情况. 这里，我们使用二维向量的欧几里得2-范数.
由于问题的数据里通常有各种不确定因素(例如测量误差或舍入误差), 了解解的误差界是非常有意义的. 既然存在这些不确定性, 右端向量 b更应当被看作是二维平面上一个模糊的区域，而不是一个清晰的点. 因此，相应的解向量x也应是一个模糊的区域，而不是单独一个点. 若给定b相对误差, 上述有关误差限的公式给出了解向量 x 所在的不确定区域大小的估计. 我们将看到，这个估计(bound)可能很准也可能很松，这取决于具体的系数矩阵 A 和右端向量 b.
用户可以自己在文本框中输入矩阵 A的元素值，或者使用程度预设的样例. 接下来在右侧的绘图区点击鼠标，可确定一个右端向量 b . 被选定的向量 b在右侧绘图区显示为一个箭头，它的值显示在下方. 如果需要, 可以用鼠标将向量 b 拖到任何一个新的位置. 相应的解向量 x 则显示在左侧的绘图区，其下方也打印出 x 的值.
在右侧绘图区，可以看到一个圆形的阴影区域，它代表右端向量b 的扰动范围(对应于某个相对误差). 用鼠标拖动这个阴影区域的边缘，可以改变它的大小, 绘图区下方相应地会显示向量 b 的相对误差. 在左侧图形区域中，浅颜色的圆形阴影区域表示通过矩阵条件数估算出的解向量 x 的不确定区域，对应的x 的相对误差限(Bound on relative error)显示在绘图区下方. 另外，左侧绘图区中，深颜色的椭圆形阴影区域表示右侧绘图区圆形阴影区域的原像，它相应的实际的解向量 x 的最差情况相对误差(Actual relative error)也显示在左侧绘图域下方. 圆形阴影区域总是包含这个椭圆区域，但包得可能很紧凑也可能很松，这取决于具体的矩阵 A 和右端向量 b. 通过点击"Clear"按钮可以清除这些向量，而输入新的元素值则改变矩阵A.
操作与思考: 改变矩阵A, 使它的条件数大于100, 然后看看解向量 x 的不确定区域的大小. 能否使左侧的阴影区域不充满整个绘图区? 改变向量b, 看看各种情况下估计的误差限和实际的误差限分别有多大?
参考内容: 课本3.1.3小节有关内容