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理查森外推方法 (Richardson Extrapolation)
本模块演示理查森外推法，这种方法将渐进式的
利用低阶的近似结果得到高阶精度的近似结果.
如果我们知道两个同样步长参数 h下的近似值，并且同时知道当步长
h 趋近于零时，近似误差的渐进精度函数形式. 那么，就可以
根据这些近似值和函数形式，以外推插值的形式计算当
h = 0 （也就是外推到极限情况）时的结果，以获得高阶的计算精度.
本模块展示了外推法的计算有限数值微分一个实例.
用户首先选择一个函数f(x)
和微分目标点 x0
左侧图像区域选定的函数以黑色画出，而目标点处的函数值
(x0,f(x0))以红
色标出. 然后用户可以选择有限差分算法和粗略计算的步长h 以及两种
步长的比例q.
左侧中以蓝色和品红色的割线方式绘出步长分别为h和h ⁄q得到的微分近似值.
右侧下部的表格给出F(h) 和 F(h
⁄q). 右侧上部图形中以同样的颜色体系标出
(h, F(h)) 和 (h
⁄q, F(h ⁄q)).
令 F(y) 来表示步长为y时
f′(x0) 的数值微分近似.
对于一阶前向和后向微分近似，当y趋近于零的时候
F(y) 线性收敛于
f′(x0). 而二阶精度的中心插值法中
F(y) 二次收敛. 两种情况下，
根据F(y) 的收敛特性，我们可以使用理查森外推法来估计
F(0). 右侧图形上有前两种估计结果
F(y) ，还有红色标记的外推结果
(0, F(0)) . 左侧以红线标出斜率为
F(0) 经过点
(x0, f(x0)) 的近似结果.
外推法得到的斜率
F(0) 以及精确解f′(x0)
在右侧的图形分别以红黑两色标出. 注意，两者有可能会重叠.
用户可以调整h 和q来体验算法结果.
当 h 变小而 q 变大的时候，有限差分近似
F(h) 和
F(h ⁄q) 一般会变得更好.
外推法的结果 F(0) 比
F(h) 或者 F(h⁄q)
更快的收敛于 f′(x0). 当然，对于非零的步长，近似的误差不会等于零.
参考内容: 课本第7.7.3小节.
