清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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多项式插值基函数

对于给定阶次的多项式函数空间，本模块绘制几组不同的基函数，演示不同的基函数选择对计算多项式插值问题的敏感性带来的影响.

使用者可以选择一组基函数类型以及这组基的维数(Dimonson of Basis). 对于选定的函数族以及维数，绘图区显示出对应于区间[0, 1]上等间距插值节点的插值基函数的曲线. 在绘图区下方也显示了求解插值系数时对应的线性方程组系数矩阵.

通过演示模块看出，单项式基函数(Standard Monomial Basis)对应的矩阵非常病态，而且它的病态程度随着维数的增加而提高. 通过平移和比例放缩可改善单项式基函数造成的病态性(Scaled Monomial Basis). 拉格朗日插值基函数(Lagrange Polynomial Basis)总是产生最不敏感的矩阵，即单位阵. 而牛顿插值的基函数(Newton Polynomial Basis)产生一个下三角矩阵，它的条件数(病态性)介于拉格朗日基与单项式基之间.

操作与思考: 根据绘制的函数曲线，推导"Scaled Monomial Basis"基函数具有怎样的表达式?

参考内容： 课本第6.4, 6.5节.