清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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牛顿插值

本模块演示牛顿插值. 对一组有序的数据点 (t_i, y_i),  i = 1,…,n， 第j个牛顿插值基函数为π_j (t) = (t − t₁) · · · (t − t_j−1). 由于使用牛顿插值基函数，求解插值系数时处理的是下三角系数矩阵，当数据点增加时可以增量式地计算牛顿插值多项式. 最终得到的插值多项式与插值节点的顺序无关.

使用者首先点击"Choose Random Points"按钮随机产生一组要插值的数据点，或者点击"Choose Specific Points"按钮在绘图区逐个选定插值数据点. 对于后一种情况, 使用者在绘图区点击鼠标指定点的位置. 为了防止插值节点彼此太靠近，在已选择的点周围会形成有阴影的缓冲区域，不允许在这些缓冲区定义新的数据点. 当插值数据点定义完毕后， 使用者点击"Apply"按钮使其生效. 然后可以按任何顺序依次点击这些点，增量式地建立牛顿插值多项式. 每次用鼠标点一个数据点，绘出的插值曲线将会更新，以包括这个新的插值点，同时绘图区下方也以牛顿基函数的线性组合的形式显示出插值多项式. 在任何时候，可以点击"Reset Interpolant"按钮来清除插值曲线，但保留所有的插值数据点. 利用这个功能，使用者可以观察到最终的插值结果与选取数据点的顺序无关.

操作与思考: 牛顿插值的系数怎么计算? 下三角矩阵与差商表有什么关系?

参考内容： 课本第6.5小节.