清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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采用部分主元的矩阵LU分解

本模块演示了选主元(partial pivoting)的LU分解过程. 经过一系列消去阵的作用，逐列地消去原始矩阵中对角线之下的元素，最终将它约化成一个上三角矩阵. 每一个消去阵，都是由一个单位矩阵加上当前列对角线下方的一些乘子(乘数, multipiler)组成的. 选主元，也就是交换行的操作，避免了除以零的可能性，并且限制乘子的大小，从而增强数值稳定性.

用户首先选择矩阵的尺寸(n = 2, 3, 或 4). 接下来可以选择一个预设的矩阵(Example)，或随机选取一个(Random)，或自行输入矩阵元素的值(修改数值后按回车键，并点击"Refresh"更新显示). 不断点击NEXT按钮，可以看到高斯消元的进行步骤，当前的步骤以高亮显示. 当前列以一个箭头来指示. 对于每一列，默认选取的主元是这一列在对角线之下的最大元素，但可以通过点击鼠标来选取任何的非零元素(该元素变为红色). 可以看到，行交换过程(interchange rows)是显式进行的. 当高斯消元完成，所得到的L和U因子以分开的下三角和上三角矩阵形式来显示. 显示 数据的格式支持e,f,g三种，分别表示科学计数法, 固定小数位数和统一格式，默认的是统一格式(g).

操作与思考: (1) 对于n=3的情况，对预设的例子(Example)一步步地执行部分主元高斯消去过程，得到矩阵L和U，请问LU等于A吗? 若不相等，应该等于什么?
                      (2)对n=4的预设例子，仔细观察上述演示的每一步，最后一步的操作对吗？若不符合正确的算法，得到的LU与A的关系对吗？用Matlab验证，并思考其原因(考察矩阵A的秩).

参考内容：课本3.3, 3.4有关内容