清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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将矩阵正交变换为上Hessenberg阵

本模块演示通过正交相似变换A = Q H QT将矩阵A规约为上Hessenberg型矩阵. 矩阵H是上Hessenberg矩阵，即它的第一条次对角线下方的元素都是零，Q是正交矩阵. 变成上Hessenberg矩阵的规约过程是使用QR迭代计算矩阵特征值和特征向量的前提步骤，它通过运用Hoseholder变换逐列地消去矩阵的部分元素来实现. 正交相似变换保持矩阵的对称性，所以如果初始矩阵A是 对称的，那么结果矩阵将是三对角矩阵，这种情况的结果矩阵常用T, 而不是H来表示.

使用者首先选择矩阵是否对称, 以及它的阶数，然后通过选择预设例子(Example)、随机矩阵(Random)或者手工输入矩阵元素的方式设定待处理的矩阵. 通过重复点击"NEXT"按钮或当前加亮显示的步骤，一步一步地执行Hessenberg正交规约的过程. 在绘图区中, 用一个箭头指示当前操作的列. 依次考虑矩阵的每一列, 可确定一个Householder变换用来消去当前列下三角部分的元素. 相应的Householder向量v在右侧显示出来，而下方的文本框中列出了标量α和β的计算值. Householder变换从左边作用于矩阵的各列. 为了进行正交相似变换，Householder变换同样要从右边作用于矩阵的各行. 注意这第二个过程并不影响第一个过程引入矩阵中的零元素. 当原始矩阵被变换成了上Hessenberg矩阵，或者当原始矩阵对称时成为了三对角矩阵，这个正交规约过程就结束了. 显示数据的格式支持e, f, g三种，分别表示科学计数法, 固定小数位数和统一格式, 默认的是统一格式(g).

操作与思考: 观察这些Householder向量有什么特点? 它说明对应的Householder变换与"用Householde变换做QR分解"中的有何区别?

参考内容： 课本5.4.3小节相关内容.