清华大学课程“数值分析”(No.20240033)
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幂法与反幂法

本模块演示计算矩阵最大或最小特征值对应的特征向量的幂法(power iteration)与反幂法 (inverse iteration). 对一个任意的非零初始向量, 幂法/反幂法反复地用该矩阵(或它的逆)乘以向量. 为了避免上溢出或下溢出，在每一步迭代中需对计算出的新向量调整大小以使其∞-范数为1(这个过程称为"规格化").

使用者首先通过选择预设例子(Example)、随机矩阵(Random)或者手工输入矩阵元素的方式设定一个2 × 2的对称矩阵. 矩阵的特征向量经规格化后在图中以箭头线表示，深色的箭头线为较大的特征值对应的特征向量(Dominant Eigenvector)，浅色的箭头线为较大的特征值对应的特征向量(Subdominant Eigenvector). 使用者可通过点击绘图区任意选择一个初始向量，然后选择使用幂法或者反幂法来进行计算. 重复点击NEXT按钮让程序连续地执行相应算法中高亮的步骤. 如果选择的是幂法，用矩阵A乘以初始向量x，结果经规格化后得到下一个近似的特征向量. 如果选择的是反幂法，将求解线性方程组A y = x来获得y的值，再将它规格化得到下一个近似的特征向量. 在两种情况中，操作可以重复进行以提高特征向量的准确度. 每一次迭代的效果是将初始向量朝按模最大特征值(幂法)或按模最小特征值(反幂法)对应的向量拉近. 在绘图区下方，显示了迭代中的近似特征值，以及两个特征值的准确值.

操作与思考: (1)点击"Random"按钮生成随机的2阶矩阵, 发现绘图区中的特征向量总是相互垂直, 这是为什么?
                      (2)输入单位阵,执行幂法的演示过程，看看它能否将初始向量向最大特征值对应的向量拉近? 解释看到的现象.
                      (3)输入矩阵[1, 0; 0, -1], 执行幂法的演示过程，看到什么现象? 它说明什么?

参考内容： 课本第5.2节相关内容.